43109 對一道普特南數學競賽題的省思 | 國小段考題庫網
![43109 對一道普特南數學競賽題的省思](https://i.imgur.com/7mXO7Ff.jpg)
普特南數學競賽是美國的大學生數學競賽,全稱WilliamLowellPutnamMathematicalCompetition,每年舉行一次。競賽後,試題及解答刊載於美國數學月刊(TheAmerican ...
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普特南數學競賽是美國的大學生數學競賽, 全稱 William Lowell Putnam Mathematical Competition, 每年舉行一次。 競賽後, 試題及解答刊載於美國數學月刊(The American Mathematical Monthly)。 一些試題非常新穎, 耐人尋味, 值得仔細揣摩。 例如, 在 2000 年舉行的第 61 屆競賽中, 第一道試題如下:
Let $A$ be a positive real number. What are the possible values of $sumlimits_{j=0}{infty}x_j2$, given that $x_0, x_1, x_2, ldots$ are positive numbers for which $sumlimits_{j=0}{infty}x_j=A$.
翻譯成中文, 就是:
設 $A$ 是正實數, 給定正數 $x_0, x_1, x_2, ldots$ 且 $sumlimits_{j=0}{infty}x_j=A$。 問: $sumlimits_{j=0}{infty}x_j2$ 的可能的值是什麼 ?
由比較判別法容易知道 $sumlimits_{j=0}{infty}x_j2$ 收斂, 這是教科書和習題集中經常出現的問題。 但我們很少考慮 $sumlimits_{j=0}{infty}x_j2$ 可能取到哪些值。 但這確實是一個有趣的問題, 值得認真思考。 當筆者第一次見到這個問題時(當時看專業書看得累了, 就看看這些題目作為消遣), 就被它深深地吸引, 並且責備自己第一次學習級數時為什麼沒有想到這樣的問題。 (我現在覺得這個問題是很自然的, 既然 $sumlimits_{j=0}{infty}x_j2$ 收斂, 那它可能收斂到什麼值呢 ? )
首先, 容易知道 $sum...
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